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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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H. Graphes et circuits

H165. Solutions de mobilité dans un parc de loisirs

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H165. Solutions de mobilité dans un parc de loisirs

H. Graphes et circuits

N attractions sont disséminées dans un vaste parc de loisirs. Le réseau de voies piétonnes qui les relie entre elles est conçu de sorte que pour aller de n’importe quelle attraction n°i à une autre attraction n°j, ou bien il y a une voie directe désignée par (i,j) ou bien on passe par une attraction intermédiaire n° k en empruntant la voie (i,k) puis la voie (k,j).On se fixe également pour contrainte qu’il y a au maximum d voies qui partent de chaque attraction. Sur chaque voie on peut marcher dans les deux sens si bien que

i ≠ j, (i,j) ≡ (j,i).

Q₁ N = 8. Déterminer les valeurs de d qui rendent possible la construction d’un tel réseau et donner la représentation de ce réseau pour la plus petite valeur possible de d.

Q₂ Même question avec N = 16.

Solution

Ce problème a été posé au printemps 1991 au Tournoi des Villes (niveau Senior A). La solution officielle (en anglais) a été établie par

Andy Liu (problèmiste bien connu et très prolixe) et donne les réponses d = 3 à Q₁ et d=5 à Q₂ selon l'hypothèse que les voies pour aller d'une attraction à une autre peuvent se croiser.Il démontre par la même occasion que ces deux valeurs de d sont les plus peites possibles.