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I. Trajets optimaux

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I. Trajets optimaux

Ce pays du Lointain Ponant projette de construire en plein désert 6 villes nouvelles A,B,C,D,E et F disposées aux sommets de deux carrés juxtaposés de côté 8 kms :

Des ingénieurs des télécommunications et des ingénieurs des ponts et chaussées se réunissent pour concevoir le réseau routier câblé le plus court possible qui relie les six villes entre elles. D'entrée de jeu, les premiers proposent le circuit ABCDEF qui a l'avantage de la simplicité et demande 40 kms de câbles. Les seconds plus économes affirment qu'il existe un réseau qui a deux mètres près fait faire une économie de 3 kms.
Les ingénieurs des télécommunications contestent cette évaluation et parlent de bluff. Qui a raison ?
Nota : il n'y a aucune servitude ni contrainte pour réaliser dans le désert un quelconque tracé qui relie les six villes entre elles.

Solution

Ce casse-tête a été résolu par Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Vincent Pantaloni,Pierre Henri Palmade,Michel Lafond,Pierre Jullien,Gilles Nithart, Etienne Desclin qui sont tous venus en renfort des ingénieurs des ponts et chaussées pour confirmer leurs calculs d'un trajet optimal de 37 kilomètres + 1,5 mètre.
Comme Vincent Pantaloni, Claudio Baiocchi a mis au point la construction du trajet optimal avec l'aide du logiciel d'accès libre Geogebra et nous adresse le schéma suivant:

1) Pour des raisons de symétrie l'arbre doit passer par le milieu de BE; on se borne donc à chercher deux points, M et O, pour l'arbre joignant A,B,G,F.
2) Le point M doit se placer sur l'arc de cercle (en vert) joignant A et F; le centre H du cercle étant choisi de façon telle que l'angle AMF mesure 120°; de même pour le point O, sur l'arc centré en I et joignant B et G, de façon que BOG mesure 120°.
3) Les points K du troisième arc, centré en J, sont tels que l'angle AKB mesure 60°; pour tout K sur cet arc on note M le point intersection du segment MA avec l'arc joignant A et B; de même O sera l'intersection du segment MB avec l'arc joignant B et G.
4) On fait varier K sur cet arc, et on mesure l'angle AMO; la "bonne" position de K est telle que AMO mesure 120°

Ce problème est un petit cousin de celui qui avait été proposé il y a quelques mois:D447 Ce qui paraît évident n'est pas optimal. On y retrouve les angles de 120° qui caractérisent le point de Fermat-Toricelli dans le triangle et d'une manière plus générale les arbres de Steiner . La démonstration de l'optimalité du parcours reste à faire mais les ingénieurs des ponts et chaussées comme la plupart des lecteurs sont prêts à parier gros qu'il n'y a pas de trajet plus court.

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