E122. Des tas de sable primophiles - E122. Des tas de sable primophiles E1. Suites l...

Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil

Problèmes par thèmes

E. Logique - Autoréférences

E1. Suites logiques

E122. Des tas de sable primophiles

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône

figure seule.

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

Avertissement

E122. Des tas de sable primophiles

E1. Suites logiques

Des tas de sable sont alignés les uns à la suite des autres et portent les numéros 1,2,3,....,n,.... Le premier tas est vide,le second contient deux grains de sable et le troisième en contient trois. A partir du quatrième tas, le nombre de grains de sable du kième tas est égal à la somme du nombre de grains de sable de l’anté-antépénultième tas (n° = k – 3) et du nombre de grains de sable de l’antépénultième tas (n° = k – 2). Démontrer que pour tout tas dont le numéro est un nombre premier p, le nombre de grains de sable est un multiple de p.
Question subsidiaire : est-il vrai que lorsque le numéro d’un tas est un nombre composé m quelconque, le nombre de grains de sable de ce tas n’est jamais un multiple de m ?

Solution

De nombreux lecteurs n'ont pas manqué d'identifier cet ordonnancement des tas de sables primophiles comme une copie conforme de la suite de Perrin présentée par R.Perrin en 1899 dans la revue l'Intermédiaire des Mathématiciens. Au fil des années,cette suite à fait l'objet de nombreux articles y compris jusqu'en 1982 où W. Adams et D. Shanks ont démontré que le tas n° 271441 est le premier tas dont le numéro est composé (= 521² ) et dont le nombre de grains de sable est un multiple de ce nombre, donnant ainsi la réponse à la question subsidiaire.

Il existe plusieurs démonstrations de la curieuse propriété des tas de sables primophiles :
- la plus courante fondée sur la théorie des nombres et les propriétés de l'équation caractéristique x³ - x - 1 = 0 associée à la relation de récurrence u_n = u_n-2 + u_n-3 a été donnée par