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Il est midi et 5 minutes et je viens de remonter le mécanisme des deux poids de mon horloge. Chaque fois qu’elle se met à sonner je note le nombre de coups sur la cloche, ce qui me permet d’établir jusqu’à minuit passé la suite des nombres cumulés de coups sur la cloche. J’obtiens ainsi la suite strictement croissante des entiers k ≥ 1 tels que la partie entière par défaut de la racine carrée de k ,⌊√ k⌋, divise k.
Décrire le mécanisme de la sonnerie de mon horloge et déterminer l’heure à laquelle elle a émis son 49ième coup de cloche.
Ce problème relève de la catégorie des curiosités mathématiques. Les possesseurs d'une horloge franc-comtoise qui disposent d'un modèle classique constatent que leur horloge sonne les heures (un coup par heure), les répète deux minutes après (pour permettre à l'étourdi qui n'a pas eu le réflexe de compter le nombre de coups à l'heure tapante de faire le bon décompte) et enfin frappe un coup à la demie. Pour s'en convaincre,on peut utilement consulter le site suivant: https://www.horlogesdautrefois.fr/article/34.Si l'on recense le nombre de coups chaque fois que l'horloge se met à sonner, à partir de midi et 5 minutes, on a la suite : 1,1,1,1,2,2,1,3,3,1,4,4,1,5,5,1,6,6,1,7,7,1,8,8,1,9,9,1,...D'où la suite des nombres cumulés de coups: 1,2,3,4,6,8,9,12,15,16,20,24,25,30,35,36,42,48,49,56,63,64,72,80,81,etc... identique aux termes de la rubrique A006446 de l'OEIS qui donnent la suite strictement croissante des entiers k ≥ 1 tels que la partie entière par défaut de la racine carrée de k divise k.Voir https://oeis.org/A006446
C'est à partir de cette deuxième suite qu'on déduit aisement que le 49ème coup est donné à 18h30.
 Thérèse Eveilleau,Bruno Grebille,Claude Felloneau,Pierre Henri Palmade,Joël Benoist,Daniel Collignon,Pierrick Verdier, Olivier Pasquier de Franclieu,Francesco Franzosi,Jacques Delaire ont bien identifié les termes de la suite A006446 et ont reconstitué le mécanisme de l'horloge que nous venons de décrire.
D'autres lecteurs Jean-Michel Le Claire,Rémi Planche,Kamal Benmarouf,Maxime Cuenot ont eux aussi obtenu les termes de la suite A006446 à partir desquels ils ont conçu des mécanismes de sonnerie differents. Nous avons admis qu'ils étaient mathématiquement recevables sans qu'ils soient nécessairement observables.
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