Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

On écrit un nombre N à 10 chiffres qui ne comportent pas 10 fois le même chiffre (ex : 3 333 333 333) ou qui n’ont pas des chiffres tous différents (ex : 3 706 589 421). On écrit ensuite le nombre dit « distillé » formé dans l’ordre par le nombre de chiffres 0, le nombre de chiffres 1,etc...le nombre de chiffres 9. On répète l’opération jusqu’à avoir une situation stabilisée caractérisée par un nombre terminal ou par  un cycle fermé de deux nombres distillés ou plus.
Q₁ Déterminer toutes les situations stabilisées.
Q₂ Quel est le plus petit nombre de distillations qui permette d'obtenir une situation stabilisée, quel que soit l'entier N de départ ? Est-ce le même pour les diverses situations stabilisées ?
Q₃ Dénombrer (de préférence autrement que par énumération brutale sur ordinateur) les entiers N selon la situation stabilisée où ils conduisent, avec subdivision par nombre de distillations nécessaires pour atteindre cette situation.

Pour les plus courageux : étendre le problème en donnant des exemples avec les nombres de b chiffres en base b.