Zig et Puce ont chahuté en classe de mathématiques. Pour les punir, leur professeur qui n’est plus autorisé à leur faire copier cinq cents fois la même ligne, leur donne les deux exercices suivants destinés à les occuper pendant un bon moment:

E₁ Puce reçoit une première liste de 2019 entiers compris entre 0 et n qu’il doit recopier sur une même colonne puis en face de chaque entier il doit écrire sur une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier apparaît dans la première colonne.
Puce constate qu'en lisant la deuxième colonne de bas en haut, il obtient la liste de la première colonne lue de haut en bas. Déterminer la plus petite valeur possible de n.

E₂ Zig reçoit une deuxième liste de 2019 entiers pas nécessairement distincts qu’il doit recopier sur une même colonne. Comme l’a fait Puce, il doit écrire en face de chaque entier sur  une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier figure dans la première colonne. A l’inverse de Puce, il poursuit sur une troisième colonne en écrivant en face de chaque entier de la deuxième colonne le nombre de fois où il figure dans cette même colonne. Et ainsi de suite...
Zig ne peut s'arrêter que lorsque tous les entiers de la (k − 1)^ième colonne et ceux la k^ième colonne sont ligne à ligne identiques avec k ≥ 3.Il obtient ainsi un tableau T_k de 2019 lignes et k colonnes.

Q₁ Démontrer que Zig est certain de s'arrêter après avoir écrit un nombre fini de colonnes.
Q₂ Trouver le nombre maximum de colonnes du tableau T_k.
Q₃ Décrire une liste de 2019 entiers telle que T_k contient le maximum de colonnes et la dernière colonne contient au moins cinq entiers distincts.