Rappelons que dans le problème E304 intitulé « Le petit classique des problèmes impossibles », Diophante choisit deux nombres entiers compris entre 2 et 21.Il donne la somme à Sébastien, le produit à Pierre et leur demande de calculer les deux nombres. A l’issue d’un court dialogue entre Sébastien et Pierre, la solution unique est donnée par le couple [3,4]

Problème n°1
Dans ce problème on reprend rigoureusement les mêmes termes du dialogue entre Sébastien et Pierre mais les nombres choisis par Diophante appartiennent à l’intervalle [2,99]. Diophante donne la somme à Sébastien et le produit à Pierre. Quels sont ces nombres, demande-t-il ?
Sébastien : Je ne sais pas répondre
Pierre : Je ne sais pas répondre
Sébastien : Alors je connais les deux nombres.
Pierre : Maintenant, moi aussi.
Il y a trois couples de nombres possibles dont évidemment le couple [3,4] déjà mentionné. Quels sont les deux autres ?

Problème n°2
On constate que le problème précédent n’est pas satisfaisant dans la mesure où il aboutit à une solution multiple. Supposer que le dialogue se prolonge chaque fois d’un tour et déterminer dans chacun des trois cas ci-après la ou les solutions possibles.

1er cas
Sébastien : Je ne sais pas répondre
Pierre : Je ne sais pas répondre
Sébastien : Je ne sais pas répondre
Pierre : Alors je connais les deux nombres.
Sébastien : Maintenant, moi aussi.
Quels sont les deux nombres ?

2ème cas
Sébastien : Je ne sais pas répondre
Pierre : Je ne sais pas répondre
Sébastien : Je ne sais pas répondre
Pierre : Je ne sais pas répondre
Sébastien : Alors je connais les deux nombres.
Pierre : Maintenant, moi aussi.
Quels sont les deux nombres ?

3ème cas
1ère étape
Sébastien : Je ne sais pas répondre
Pierre : Je ne sais pas répondre
Sébastien : Je ne sais pas répondre
Pierre : Je ne sais pas répondre
Sébastien : Je ne sais pas répondre
Pierre : Alors je connais les deux nombres.
Sébastien : Maintenant, moi aussi.
Quels sont les deux nombres ?

etc…

Problème n°3

Le dialogue entre Sébastien et Pierre commence cette fois-ci avec Pierre :
Pierre : Je ne sais pas répondre
Sébastien : Je ne sais pas répondre
….
Pierre : Alors je connais les deux nombres
Sébastien : Moi aussi
Quels sont les deux nombres ?

ou bien
Pierre : Je ne sais pas répondre
Sébastien : Je ne sais pas répondre
….
Sébastien : Alors je connais les deux nombres.
Pierre : Maintenant, moi aussi.
Quels sont les deux nombres ?

Qu’y a-t-il de nouveau par rapport au problème n°2 ?