Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :
Très facile
Facile
Moyen
Difficile
Très difficile
Variable
Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.
E453. Une belle joute |
E4. Jeux de NIM et variantes |
Diophante choisit un entier n puis Zig et Puce s’adonnent à une joute de calcul mental qui obéit aux règles suivantes :
1) Le premier joueur annonce un nombre pair inférieur ou égal à n, 2) A tour de rôle chaque joueur doit annoncer un nombre parmi les multiples et les diviseurs du nombre choisi par son adversaire et inférieur ou égal à n, 3) Un nombre ne peut être prononcé qu’une seule fois. Le perdant est le joueur qui ne trouve plus de multiples ou de diviseurs du nombre précédemment choisi. Diophante choisit successivement les valeurs n = 20,50,100,120,1000,2020 pour six parties consécutives n°1,2,3,4,5,6. Zig joue en premier dans les parties n°1,3,5 et Puce en premier dans les parties n°2,4,6. On suppose qu’au premier tour de chaque partie, Zig comme Puce choisissent l’entier pair qui optimise leurs chances de gain et qu’aux tours suivants l’un et l’autre jouent au mieux en vue de ne pas être le perdant. Déterminer les vainqueurs des six parties. |