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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

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E453. Une belle joute Imprimer Envoyer
E4. Jeux de NIM et variantes

calculator_edit.png  

Diophante choisit un entier n puis Zig et Puce s’adonnent à une joute de calcul mental qui obéit aux règles suivantes :
1) Le premier joueur annonce un nombre pair inférieur ou égal à n,
2) A tour de rôle chaque joueur doit annoncer un nombre parmi les multiples et les diviseurs du nombre choisi par son adversaire et inférieur ou égal à n,
3) Un nombre ne peut être prononcé qu’une seule fois.
Le perdant est le joueur qui ne trouve plus de multiples ou de diviseurs du nombre précédemment choisi.

Diophante choisit successivement les valeurs n = 20,50,100,120,1000,2020 pour six parties consécutives n°1,2,3,4,5,6. Zig joue en premier dans les parties n°1,3,5 et Puce en premier dans les parties n°2,4,6.
On suppose qu’au premier tour de chaque partie, Zig comme Puce choisissent l’entier pair qui optimise leurs chances de gain et qu’aux tours suivants l’un et l’autre jouent au mieux en vue de ne pas être le perdant.
Déterminer les vainqueurs des six parties.

Solution


Cette belle joute a été conçue par le physicien théoricien Eugène Paul Wigner à la fin des années 1930. Plus récemment elle a été divulguée par Richard Porteous, enseignant à l'école de Juniper Green près d'Ediimbourg en Ecosse, sous la forme d'un jeu appelé "Jeu de Juniper Green" destiné à familiariser ses élèves avec la multiplication, la division et les nombres premiers. Ian Stewart professeur de mathématiques et problèmiste bien connu l'a vulgarisée dans son ouvrage "La chasse aux trésors mathématiques" dont nous donnons un pdfextrait. En France le problème a donné lieu à de nombreux articles parmi lesquels nous avons retenu celui de l'pdfAPMEP ((Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public).
pdfDaniel Collignon a résolu le problème et grâce à une programmation en langage Python a déterminé les stratégies gagnantes du premier joueur avec les deux valeurs initiales n = 20 et 50 qui sont les plus délicates à analyser. Le fichierpdfE543DCa.pdf donne les 2300 lignes de l'arborescence correspondant au cas n = 50.
De son côté pdfThérèse Eveilleau a traité le problème et a conçu une animation accessible sur son site Bienvenue en Mathématiques Magiques.
Enfin on trouvera la contribution de pdfJean Nicot.
Le constat est unanime: jouer en premier donne un réel avantage et la stratégie gagnante du premier joueur est d'autant plus facile à assurer que n est grand.
 
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