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E5. Enigmes logiques

E594. Traversées plaisantes et délectables

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E594. Traversées plaisantes et délectables

E5. Enigmes logiques

Empruntons à Claude-Gaspard Bachet sieur de Méziriac (1581-1638) l’un de ses problèmes « plaisants et délectables qui se font par les nombres »:
« k jeunes dames fort aimables ont pour maris k hommes très jaloux. Dans une excursion faite en commun, les k couples rencontrent une rivière qu’ils se proposent de traverser sachant qu’à tout moment aucune femme ne peut être laissée en compagnie d’un autre homme si son mari n’est pas présent ».
Déterminer l’entier k dans les deux variantes ci-après :
1^ère variante [**]
Le bateau mis à leur disposition porte au plus quatre personnes et les couples réalisent un minimum de 13 traversées pour passer d’une rive à l’autre.
2^ème variante [****]
Le bateau est si petit qu’il ne peut porter plus de deux personnes à la fois et la rivière renferme un île sur laquelle on peut s’arrêter. Les couples réalisent un minimum de 32 traversées pour passer d’une rive à l’autre.
Nota : une traversée correspond à un passage dans un sens ou dans l’autre entre les deux rives ou entre l’une des deux rives et l’île. On suppose que les jeunes dames comme les maris jaloux savent tous ramer

Solution

Les deux variantes du problème "plaisant et délectable" de C.G. Bachet de Méziriac ont été extraites des deux ouvrages de récréations mathématiques d'

Edouard Lucas (Editions Albert Blanchard - Tome 1 - Première récréation page 3 et suivantes) et de

Walter William Rouse Ball (Editions Jacques Gabay 2ème partie page 55 et suivantes).
S'agissant de la deuxième variante, les deux ouvrages donnent une même formule générale N_min =8(n - 1) avec n= nombre de couples réalisant les traversées. Le nombre minimum N_min = 32 traversées mentionné dans l'énoncé a été fixé (à tort) sur la base de cette formule qui est fausse et doit être remplacée par N_min = 6n - 7. Quelques années après la parution des deux ouvrages,

H.E. Dudeney donne le résultat correct dans la rubrique n°376 "The four elopements" de son ouvrage "Amusements in mathematics".
La plupart de nos lecteurs ont eu le mérite de déceler l'anomalie de la deuxième variante et ont pu fournir des formulations plus orthodoxes du nombre de traversées en fonction du nombre de couples.