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E. Logique - Autoréférences

E5. Enigmes logiques

E5912-Lève-tôt et lève-tard

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E5912-Lève-tôt et lève-tard

E5. Enigmes logiques

On écrit les entiers naturels 1,2,3,.. à la queue leu-leu pour former une unique chaîne de caractères :
12345678910111213141516…
Un entier est appelé « lève-tôt » s’il apparaît dans la chaîne avant sa place naturelle. Par exemple, 12 est lève-tôt car il figure au tout début de la chaîne bien avant sa position naturelle après le 11. A l’inverse, un entier qui n’est pas un « lève-tôt » est appelé un « lève-tard ».
Q₁ Parmi ces dates de l’Histoire, déterminer les dates « lève-tôt » et « lève-tard » en justifiant vos réponses :
496 (baptême de Clovis),732 (victoire de Charles Martel à Poitiers), 987 (couronnement d’Hugues Capet), 1492 (découverte de l’Amérique),1515 (bataille de Marignan),1607 (naissance de Pierre de Fermat), 1642 (naissance de Newton), 1662 (mort de Blaise Pascal),1789 (Révolution française),1802 (naissance de Victor Hugo), 1914 (début de la première guerre mondiale), 1945 (fin de la seconde guerre mondiale).
Q₂ Déterminer les lève-tôt et les lève-tard parmi les entiers créés respectivement avec les cinq premiers chiffres de π, φ (nombre d’or), e (exponentielle), √2,√10,√17,√97.
Q₃. Déterminer une suite de 35 entiers naturels consécutifs qui sont tous « lève-tôt ».
Q₄ Déterminer l’entier (si possible le plus petit) appelé « lève-très-tôt » qui figure deux fois avant sa position naturelle. Même question avec l’entier appelé « lève-super-tôt » qui figure trois fois avant sa position naturelle et avec l’entier appelé « lève-hyper-tôt » qui figure quatre fois avant sa position naturelle.

Solution