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E6. Autres casse-tête
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Problème proposé par Michel Lafond
Zig et Puce jouent au jeu suivant :
Ils ont un collier de n perles (n 2),chacune ayant une valeur entière positive (en euros).
Le premier joueur Zig coupe le collier au niveau d’une perle de son choix et garde cette perle.
Le collier est maintenant linéaire avec deux extrémités.
Puis, chacun à tour de rôle Puce, Zig, Puce etc. choisit une perle à l’une des deux extrémités de ce qui reste. A la fin, celui qui a la plus grande valeur cumulée gagne.
Le jeu est dit favorable à un joueur J si celui-ci a une stratégie lui permettant de s’assurer au moins la moitié de la valeur totale du collier. Le jeu est dit défavorable sinon.
a) Montrer que si n est pair, le jeu est toujours favorable à Zig.
b) Montrer que si n = 3, le jeu est favorable à Zig.
c) Que se passe t-il lorsque n = 5 ?
d) Trouver un collier pour lequel le jeu est défavorable à Zig.
Claudio Baiocchi, Paul Voyer, Jean Moreau de Saint Martin et Michel Lafond ont traité le problème. Comme nous l'a signalé Michel Lafond,le problème est une variante d'un problème posé il y a plusieurs annés par le problémiste Peter Winkler et repris dans un article intitulé How to eat 4/9 of a pizza, dans lequel deux personnes A et B prennent à tour de rôle une part d'une pizza circulaire découpée initialement en n parts passant par le centre. Quelle est la stratégie de la personne A,la première à se servir,qui lui permet de prendre au moins les 4/9 de la pizza? Pour les petites valeurs de n et pour n pair A emporte toujours au moins de la moitié de la pizza. C'est à partir d'une certaine valeur impaire de n que A n'a plus cette certitude et le ratio de 4/9 devient la valeur plancher. Se fondant sur des analyses complémentaires mentionnées dans cet article Claudio Baiocchi et Paul Voyer ont fait apparaître que pour n = 15 le jeu devient défavorable à Zig.
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