Enigme proposée par Jean Moreau de Saint Martin

Pour tout entier k ≥ 1, on considère deux suites : la première S_2k est composée des 2k entiers 1,1,2,2,3,3,....,k,k inscrits dans une ligne de 2k cases et la seconde S_2k+1 est composée de 2k + 1 entiers 0,1,1,2,2,3,3,...,k,k inscrits dans une ligne de 2k + 1 cases.
On cherche un réarrangement des nombres dans chacune de ces deux suites selon les deux cas de figure suivants :
- cas n°1 : pour tout m variant de 1 à k. les deux entiers m sont séparés par m cases intermédiaires .
- cas n°2 : pour tout m variant de 1 à k. les deux entiers m sont séparés par m – 1 cases intermédiaires .
Dans chacune des deux suites et selon chacun de deux cas,pour quelles valeurs de k est-ce possible? Proposez des solutions pour les premières valeurs de k ≤10.