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Problèmes par thèmes E. Logique - Autoréférences E6. Autres casse-tête E677. Une issue certaine
Problèmes par thèmes E. Logique - Autoréférences E6. Autres casse-tête E677. Une issue certaine
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| E677. Une issue certaine |
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| E6. Autres casse-tête |
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Deux entiers positifs distincts a et b sont écrits au tableau. Au premier tour,on efface le plus petit des deux et on le remplace par la fraction ab/abs(a ‒ b) où abs(.) désigne la valeur absolue de la différence a ‒ b. Le processus se répète aussi longtemps que les deux nombres figurant sur le tableau sont distincts. Démontrer qu'après un nombre fini de tours, les deux nombres sont égaux à un même entier c.
Application numérique: a = 2016 et b = 2044. Déterminer c et le nombre de tours correspondant. Nos lecteurs ont repéré l'algorithme d'Euclide dans la "moulinette" présentée dans l'énoncé et ont ainsi démontré qu'à l'issue d'un nombre N fini de tours ,les deux nombres inscrits au tableau sont égaux au PPCM des entiers a et b. Dans l'application numérique, on a N = 72.  Pierre Henri Palmade,Fabien Gigante,Jean Moreau de Saint Martin,Michel Lafond,Pierre Leteurtre,Simon Pellicer,Thérèse Eveilleau,Claudio Baiocchi,Daniel Collignon,Bernard Grosjean et Abdelali Derias ont résolu le problème. |
