Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

Avertissement
Open/Close
E689. A la manière du bonneteau Imprimer Envoyer
E6. Autres casse-tête

calculator_edit.png computer.png  

Sur chaque sommet d"un pentagone régulier on inscrit dans le sens horaire les entiers relatifs: ‒ 18153, ‒ 24204, 46391, ‒ 48408, 54459
Si sur trois sommets consécutifs se trouvent placés les entiers x, y et z avec y < 0, alors on peut  remplacer respectivement x par x + y, y par ‒ y et z par z + y.
On poursuit le processus aussi longtemps qu'il y a au moins un nombre négatif parmi les cinq nombres.
Prouver si oui ou non le processus se termine en un nombre fini d'étapes. Si oui, quels sont les entiers finaux?

Solution

Ce problème est une variante sous la forme d'une application numérique du problème n°3 posé en 1986 aux Olympiades internationales de mathématiques à Varsovie. Voir http://www.imo-official.org/problems.aspx.
L'énoncé était le suivant: on affecte cinq nombres entiers relatifs aux sommets d'un pentagone régulier de sorte que leur somme est strictement positive.
Si sur trois sommets consécutifs on trouve respectivement trois nombres x,y,z avec y < 0, alors on peut remplacer x par x + y, y par - y et z par z + y. On poursuit le processus aussi longtemps qu'il y a au moins un nombre négatif parmi les cinq nombres.Démontrer que le processus se termine nécessairement en un nombre fini d'étapes.

La plupart des lecteurs [ pdfClaudio Baiocchi,pdfJacques Guitonneau,pdfMaurice Bauval,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfMichel Lafond,pdfPierre Leteurtre et pdfThérèse Eveilleau ] ont donné des solutions tout à fait recevables dans lesquelles ils constatent par des traitements manuels ou avec l'aide d'un automate qu'en 30 étapes on obtient les cinq entiers identiques (2017,2017,2017,2017,2017) quelle que soit la séquence des chemins intermédiaires.
De son côté pdfDominique Chesneau a donné une solution du problème dans sa généralité.en trouvant une fonction f des cinq nombres inscrits aux sommets du pentagone à valeurs dans N et qui est strictement décroissante à chaque itération.
 
RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional